Binomialverteilung

Definition:

Bei der Binomialverteilung bzw. Bernoulli-Verteilung handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen mit zwei einander ausschließenden Realisationen (Schadenfall im Zeitraum x, kein Schadenfall), deren Eintritts-/Nichteintrittswahrscheinlichkeit konstant ist. Solche Versuchsserien werden auch Bernoulli-Prozesse genannt.

In der Versicherungsmathematik häufig angewendete Verteilung, insbesondere für Schadenhäufigkeiten.

Ist p die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem Versuch und die Anzahl der Versuche n, dann bezeichnet man mit B(k|p,n) oder Bn,p(k) die Wahrscheinlichkeit, genau k Erfolge zu erzielen.

Sehr anschaulich kann mit Hilfe des Galtonbretts (nach Francis Galton) die Binomialverteilung veranschaulicht werden. Hierbei handelt es sich um ein Brett mit einer regelmäßigen Anordnung von Hindernissen, an denen eine von oben eingeworfene Kugel jeweils nach links oder rechts abprallen kann. Nach dem Passieren der Hindernisse werden die Kugeln in Fächern aufgefangen, um dort gezählt zu werden. Das Galtonbrett illustriert ein grundlegendes mathematisches Gesetz, den "Zentralen Grenzwertsatz": Eine nahezu beliebig zusammengesetzte Verteilung von sehr kleinen und sehr zahlreichen Einzelstörungen konvergiert in der Summe gegen die glockenförmige Gaußsche Normalverteilung (Glockenkurve).

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