Kolumne

Risikomanagement und Spieltheorie

Rechnen ohne Risiko

Dr. Volker Bieta20.12.2015, 10:33

Die Theorie der Finanzmärkte ist die bisher erfolgreichste ökonomische Theorie. Zunehmend trüben aber Missbrauch und Versagen in der Praxis den Glanz. Spektakulär war die Subprime-Krise ab Herbst 2007. Damals wurden im spekulativ aufgeblähten US-Immobilienmarkt riskante Spiele gespielt. Durch Collateralized Debt Obligations (CDOs) wurden faule Kredite in strukturierten Produkten verbaut. Gewettet wurde auf Wetten. Mathematisch war alles optimiert, die Transparenz war niedrig, die Verständnishürden lagen hoch. Solange die Herde größer wurde, ging alles gut. Als Kredite aber wie Dominosteine kippten und Zahlungsausfälle die Wahrscheinlichkeit für weitere Ausfälle erhöhten, kollabierte das System. Verloren war das Spiel, in dem Quants (quantitative analysts) herauszufinden hatten, wie viele faule Kredite sich in ein Wertpapier packen lassen, um gerade noch Triple-A-Ratings zu erreichen. Der Autor plädiert für eine Ergänzung der Finanzmathematik durch die Spieltheorie.

Schwierige Fragen

Versagt in Finanzkrisen der Markt oder die Theorie? Durchschauen Banker, Aufsicht und die Wissenschafts-Community noch die Komplexität dessen, was sie tun? Wird die Finanzindustrie in wesentlichen Teilen zum mathematischen Glasperlenspiel, weil stochastische Modelle die Schwächen der Annahmen im mathematischen Idiom verhüllen? Warum funktioniert Finanzmathematik nur dann recht gut, wenn Erfolg daran gemessen wird, Antworten auf Fragen zu erhalten, die zu den Theoremen passen? Ist der Zustand der Finanzbranche eher schlecht, weil im bipolaren Spannungsfeld von Kontrollillusion und Kontrollverlust nach Grenzen und Möglichkeiten der Modelle nicht gefragt wird? Hat die Mathematik die Finanzkrisen nicht nur nicht vorhergesehen, sondern sogar mit ausgelöst? Ist es fahrlässig mit nur einem Modell einen Preis zu berechnen, der mit anderen Modellen anders aussehen würde? Die Liste schwieriger Fragen zur Performance von Risikomanagement erscheint beliebig fortsetzbar. Einige der Fragen sollen im Folgenden etwas genauer erörtert werden. Die Antworten führen auf das Feld der Spieltheorie. Hier ist wichtig, dass die Spieltheorie den Finanzmarkt nicht nur als steriles Casino (Zufallsverteilung) sehen muss, das auf der theoretischen Ebene von Gleichgewichtstheoremen getrieben wird, die von Gleichgewichtspostulaten der Newtonschen Physik abgeleitet sind, sondern auch als ein interaktives System sehen kann, was auf der praktischen Ebene durch Rückkoppelungsprozesse getrieben wird.

Wie der Finanzmarkt funktioniert spielt keine Rolle

Dass in der Finanztheorie auf der atomaren Ebene der Marktteilnehmer die Struktur von Unwägbarkeiten nicht gut verstanden wird, sollte nicht wirklich überraschen. Schon ein flüchtiger Blick auf wichtige Grundpfeiler des Theoriegebäudes zeigt, dass "Dynamic Stochastic General Equilibrium"-Modelle eine Idealwelt aufspannen, in der vage ökonomische Metaphern wie die "unsichtbare Hand" grob verkürzen statt zu erklären. Ein Beispiel dafür ist das Bild, das Marktteilnehmer eigenschaftslose Klone sind, die unabhängig voneinander zur Optimierung ihres Vermögens rational handeln. Auch sind Finanzkrisen nur durch exogene Schocks und nicht aus dem System heraus (endogen) zu erklären. Dies ist dem Bild des Finanzsystems als mechanistisches System geschuldet, das sich nur in die Richtung berechenbarer Gleichgewichte entwickeln kann, da die Dynamik nach den Postulaten der Newtonschen Physik formalisiert wird.

Die Empirie scheint Paul Krugman’s Urteil "Volkswirte haben Schönheit, gekleidet in beeindruckende Mathematik, mit der Wahrheit verwechselt" auch für Finanzökonomen zu bestätigen. Hinzu kommt eine regulatorische Praxis, die in der Anwendung durch eine sehr ambitionierte modellgestützte Regulierung nach Kennzahlen zum einen wenig Anreize setzt, eigenständig Risikourteile zu erarbeiten und zum anderen durch administrierte Preisfindungsprozesse bekannterweise schnell zu einer Synchronisierung von Entscheidungen führen kann, die systemisch verhängnisvoll ist. Dass Endogenität und nicht Exogenität für die Instabilität des Finanzsystems sorgt und die Finanzwelt dennoch weiter durch eine Logik aufbereitet wird, die es so nicht gibt, erfordert zeitnah die Ergänzung durch Problemlösungen. Da Finanzmodelle wegen grundsätzlicher konzeptioneller Mängel den Bedingungen einer Finanzsystemkrise nicht standhalten können, ist auch mit "anderer" Mathematik am großen Spiel zur Veränderung der Spiele anzusetzen. Geschieht dies nicht, bleiben Finanzmodelle nach der Lesart von Krugman weiter randständig, wenn es um Erklärungen mit Substanz geht. Das es um Letzteres geht, ist das Dilemma der Finanzbranche. Es erinnert an das Treiben der Lämmer; wie es Goethe durch "Und auf vorgeschriebenen Bahnen zieht die Menge durch die Flur; den entrollten Lügenfahnen folgen alle! – Schafsnatur!" (Faust II, Vers 10405) beschrieb. Wie kam es dazu, dass durch die Metaphorik der Newtonschen Physik und Postulate der Neoklassik komplexe Probleme mit Kalkülen wie der Nutzenmaximierung mathematisch streng, schlank, elegant und performant gelöst werden können?

Energiekonzept als Inspiration

Die Grundidee der Finanzökonomie stammt aus der Biologie. Im Jahr 1827 entdeckte der schottische Botaniker Robert Brown erratische Zick-Zack-Bewegungen bei in Flüssigkeiten schwimmenden Pflanzenpollen. Diese Beobachtung griff im Jahr 1900 der französische Mathematiker Louis Bachelier in seiner Dissertation "théorie de la spéculation" auf. Als er an der Pariser Börse keine statistischen Regelmäßigkeiten fand, um eine Bewertungsformel für Rentes (eine Art Bundesanleihen) anzugeben, nahm er an, dass Kurse so verlaufen müssten, als wären sie zufällig erzeugt worden. Er setzte eine Brownsche Bewegung an. Der Kunstgriff war folgenreich. Bis heute sind Kursprozesse reine Zufallsprozesse (Random Walks). Die up/down-Bewegungen werden als normalverteilt angenommen. Schwankungen im Zeitablauf sind unabhängig und die vergangene Kursentwicklung lässt keine Rückschlüsse auf zukünftige Kurse zu. Das Geschehen gleicht dem Heimweg eines Betrunkenen: Jeder seiner Schritte ist nur schwer vorhersagbar. Ungewiss ist, welchen Weg er wählen wird. Gewiss ist nur, dass er ein Ziel hat. Dies verbindet stochastische Prozesse mit Trendkomponenten.

Dass sich (Finanz-)Ökonomen heute wie Physiker verhalten (müssen!) und die moderne (Finanz-)Ökonomik eine Parallelentwicklung zur exakten Naturwissenschaft zeigt, wurzelt in der Fortführung der Mathematisierung der Brownschen Bewegung auf dem Feld physikalischer Wechselwirkungen. Formal abgeschlossen wurde Bacheliers Theorie der Spekulation mit dem Beweis der Existenz der Brownschen Bewegung durch Norbert Wiener. Sein rigoroser Zugang war der Beginn der streng mathematischen Analyse der ungerichteten Zufallsbewegung von Teilchen (Diffusion) als stochastischer Prozess. Weniger bekannt ist, dass Bachelier Eigenschaften der Brownschen Bewegung fand, bevor Albert Einstein im Jahr 1905 die Bewegung eines Schwebeteilchens in Raum und Zeit als Diffusionsprozess durch eine partielle Differentialgleichung mathematisch präzise beschrieb, die er aus der Theorie der Wärmeleitung ableitete. Bachelier, Einstein und Wiener hatten den Prototyp des reinen Zufalls im Zeitablauf gefunden. Für die Stochastik hat die Brownsche Bewegung die gleiche Bedeutung wie die Normalverteilung für die Wahrscheinlichkeitstheorie. Erstere ist anzusetzen, wenn die Kraft für Veränderungen von Zuständen keine räumliche Richtung bevorzugt und in ihren Wirkungen von der Vergangenheit unabhängig ist; letztere ist anzusetzen, wenn auf eine Größe viele zufällige unabhängige Einflüsse wirken.

Heute ist finanzökonomisches Denken physikalischem Denken in Gleichgewichten angenähert. Die Finanzmathematik ist ein Hauptanwendungsgebiet verfeinerter Brownscher Bewegungen. Trotz der Orientierung an den Metaphern einer physikalischen Kräftemechanik und der Irrweg-Analogie wird jedoch zunehmend gefragt, ob beispielsweise die Normalverteilung, die dick um den Mittelwert ist und nach außen sehr schnell sehr flach wird, zur Berechnung von wahrscheinlichen Kursänderungen mehr schadet als das sie nutzt. Die Kritik an einem der Physik entlehnten finanzökonomischen Grundgerüst rechtfertigt der empirische Befund. Es muss ernüchtern, dass in Finanzkrisen nicht normale Handelstage (Tage innerhalb der Glockenkurve), sondern Handelstage, wo es dramatische Ausreißer gibt (Tage außerhalb der Glockenkurve) wichtig sind. Das "lock in"-Problem verschärft, dass die Normalverteilung wenig Gewicht in den schmalen Rändern hat und sich Ereignisse dort unbemerkt zu hohen Risiken potenzieren können. Es gibt weitere wirksame Gifte für das reibungslose Funktionieren des pro-babilistischen Kalküls. Das große Händler die Macht haben, hebelartig den Markt zu bewegen und kleine Marktteilnehmer, die sich beobachten, sich nicht unabhängig voneinander verhalten widerspricht den naturrechtlich legitimierten Harmonievorstellungen ebenso wie die Beobachtung von Dominoeffekten, Herdenverhalten und Blasen durch Überreaktionen.

Seit Bacheliers Zeiten hat sich das Rad der Forschung immer schneller weiter gedreht. Heute rechnen Quants mit Verteilungen, die statt exponentiell wie eine Potenzkurve x verschwinden. Durch die Berücksichtigung von "fat tails" (Extremereignissen) ist dies eine verbesserte Anpassung an die Daten der Vergangenheit. An der Tatsache, dass der Finanzmarkt kein statistisch-physikalisches Konstrukt ist, das man durch den Blick in den Rückspiegel mit "einfacher" Analysis auslesen kann, ändert sich aber nichts. Dass strukturierte Produkte oft Namen haben, die kaum Rückschlüsse auf Funktion zulassen, und Banken mit Finanzmathematik jede Wette bewerten und absichern können, macht Bachelier Modelle zu Arbeitspferde, die erkennbar lahmen. Es ist zu bedauern, dass Bachelier die Spielanalogie, die im Aufsatz "théorie mathématique du jeu" anklingt, nicht vertieft hat und seine Nachfolger in der Wissenschaft dies nur zögerlich tun. Wie kam es dazu, dass durch die rigorose Mathematisierung mit dem Eindruck, die (Finanz-)Ökonomie hätte zur Strenge der Physik aufgeschlossen, die Illusion mit erweckt wird, dass der Zufall am (Finanz-)Markt berechenbar ist? Anders gefragt: Warum zerbrechen naturwissenschaftlich gehärtete Finanzmodelle regelmäßig an der Härte der Realität?

Zerbrechliche naturwissenschaftliche Härtung

In den 1950er Jahren korrigierte Paul Samuelson finanztechnisch unrealistische Annahmen bei Bachelier. Er etablierte das zentrale Resultat, dass Kursschwankungen Random Walks folgen, als geometrische Brownsche Bewegung neu. Dies war zum einen ein wichtiger Baustein für die durch Kenneth Arrow und Gerard Debreu zeitgleich vorangetriebene Mathematisierung der Ökonomik. Zum anderen ist dies die Basis für die in den 1970er Jahren dann einsetzende rigorose Mathematisierung der Finanztheorie und Ökonomie. Wesentlich trug mit dazu bei, dass der japanische Mathematiker Kyoshi Itō in den 1940er Jahren die stochastische Integration begründete und der russische Mathematiker Igor Girsanov in den 1960er Jahren stochastische Prozesse durch einen Maßwechsel veränderte. In der Ökonomie, wo zwischen dem statistischen Maß P und dem risikoneutralen Maß Q zu unterscheiden ist, sichert der Maßwechsel vom kanonischen Maß P hin zum äquivalenten Maß Q, dass die diskontierten Preise einer Aktie unter dem Maß Q Martingale sind.

In der modernen Finanzmathematik werden Handelsstrategien im Finanzmarkt oft durch Martingale modelliert. Martingale entsprechen anschaulich der Vorstellung von einem Spiel, das in dem Sinn fair ist, dass Spieler und Casino die gleichen Chancen haben. Im Französischen ist Martingal das Wort für dasjenige "faire Spiel", das die sukzessive Verdoppelung der Wetteinsätze bis erstmaligen Gewinn treibt. Die definierende Eigenschaft, dass der bedingte Erwartungswert einer Beobachtung gleich dem Wert der vorherigen Beobachtung ist, verfeinert die Random-Walk-Hypothese und erschließt durch Fragen zum Glücksspiel den Quants offensichtlich unerschöpfliche Anwendungen. Letzteres zeigt die Vielzahl inzwischen hoch komplizierter Finanzprodukte. Wird die Messlatte mit der Frage zum Realitätsbezug hoch gelegt, muss eine Logik als wagemutig erscheinen, nach der in von Martingalen getriebenen Spielen durch einen zu erwartenden Gewinn, der Null ist, weder ein Spieler einen Gewinn noch einen Verlust erwarten kann. Gefährlich ist, dass im "Financial Business" die Resultate aus Martingalwelten oft als innovative Geschäftsmodelle gelten, die oft bedenkenlos auch auf weiteste Zusammenhänge übertragen und zügig umgesetzt werden.

Lassen wir mathematische und (finanz)theoretische Feinheiten weiterhin außer Acht ist noch zu notieren, dass in der Finanzbranche die von Eugene Fama Anfang der 1970er Jahre etablierte Markteffizienzhypothese den hohen Abstraktionsgrad und die Dominanz der Glücksspielmetapher sichert. Die Markteffizienzhypothese fundiert die Brownsche Bewegung finanztheoretisch. Dabei ist in den Fama-Welten der 1970er Jahre der Markt der beste Weg, um Preise zu bilden: Informationen sind knapp, treffen mit niedriger Frequenz ein, der Markt handelt – anders als die Träger – rational und der Kurs spiegelt alle Informationen wider. Da neue Informationen in einer solchen sterilen Idealwelt nicht vorhersehbar sind und folglich niemand im Voraus weiß, in welche Richtung sich der Markt bewegen wird, haben (diskontierte) Kursprozesse die Martingaleigenschaft. Dabei pendelt sich der von der unsichtbaren Hand gelenkte Markt auf effiziente Gleichgewichte ein, da irrationale Übertreibungen von rational handelnden Akteuren durch Käufe und Verkäufe sofort bestraft würden. Dass die Empirie als Härte der Realität diese Kunstwelt fast täglich falsifiziert und die Effizienzhypothese für Robert Shiller "der bemerkenswerteste Fehler der Ökonomie" ist, stört in der Finanzbranche ganz offensichtlich niemanden wirklich ernsthaft. Dabei zeigt die Vielschichtigkeit der referierten Thematik gerade auch die Verleihung der Nobelpreise im Jahr 2013 an Fama, Shiller und Lars Peter Hansen. Insbesondere Erstere werden in der Öffentlichkeit deutlich als Antipoden wahrgenommen. Dabei steht Shiller im direkten Gegensatz zu Fama. Nach wird der Finanzmarkt durch Irrationalität und Imperfektheit getrieben und ist nicht fast perfekt. Dass die Spieltheorie mit beiden Sichtweisen umgehen kann, begründet den Beitrag.

Wahrnehmungsverlust

Die Parallelen zur Physik und der hohe Grad der Mathematisierung haben die Ökonomie und Finanztheorie für viele Ökonomen in den Rang einer Naturwissenschaft erhoben. Nicht selten wird der Grad der Mathematisierung als Maßstab der Wissenschaftlichkeit angesehen. Dabei sorgte für den endgültigen Durchbruch der analytischen Schärfe, dass in den 1970er Jahren der "Fama-Welt" die Black/Scholes-Formel entsprang und deren schnelle Umsetzung in der Praxis. Die Formel bringt in der ersten eher einfachen Näherung Kursverläufe, Volatilität, Risiko und Preis einen Zusammenhang, um Derivate im Zeitablauf (risikofrei) zu bewerten. Heute gelten die Nachfolger der Formel als kreative finanzmathematische Lösungen. Als innovative Produkte verbreiten sie sich oft schneller, als das sie auf Grund der komplizierten Mathematik in der Finanzbranche wirklich verstanden werden. So konnte sich beispielsweise die Subprime-Krise doch nur deshalb zu ihrer desaströsen Form entwickeln, weil Marktteilnehmer nicht mehr wissen wollen, unter welchen Bedingungen welches Resultat gilt beziehungsweise Finanzprodukte gehandelt werden. Das mathematische Resultate (strukturierte Produkte) auch wenn sie uneinsichtig sind, nicht hinterfragt werden, da sie als absolut gültig gelten, senkt offensichtlich Hemmschwellen. Die Modellgläubigkeit, die mit der Ferne zur Mathematik zunimmt, verdrängt offensichtlich die Tatsache, dass der Handel mit Wetten auf zufällige Schwankungen des Marktes (spekulative Risiken) desaströse Ergebnisse haben kann.

Wie die Brownsche Bewegung hat auch die Finanzbranche scheinbar kein Gedächtnis. Quants variieren schon wieder eifrig die Zaubersprüche der "Meister". Sollten die Folgen des Tuns einmal mehr nicht mehr zu überblicken sein, könnte auch wieder, wie im Subprime-Herbst geschehen, der Ruf ertönen: "Herr die Not ist groß! Die Geister die ich rief, werd` ich nun nicht los" (Der Zauberlehrling, 13. Strophe). Dies sollte nicht wirklich überraschen. Im Aufsatz "The pricing of options and corporate liabilities" (Journal of Political Economy, 81, 1973) von Fisher Black und Myron Scholes liefert die Wärmeleitungsgleichung der Thermodynamik das Integral, durch das eine Klasse von Optionen erstmals einen eindeutigen Preis hatte, der fair und tagesgenau ist. Spätestens seitdem beherrscht in der Ökonomie das mathematische Idiom. Partielle Differenzialgleichungen und der Kunstgriff, die Finanzmarktrealität risikoneutral – dass heißt am mathematischen Erwartungswert orientiert – zu bewerten, was im Wesentlichen durch einen Maßwechsel von P auf Q passiert, wobei Girsanovs Theorem die Existenz (und Struktur) des (risikoneutralen) Maßes Q sichert, umgibt die Finanzmathematik geradezu mit einer gewissen Magie. Formale Eleganz dominiert ökonomische Relevanz.

Unter welchen Bedingen gilt, was errechnet wird, ist für Nicht-Mathematiker zweitrangig: In imaginären Fama-Welten ist was mathematisch nicht fassbar ist – dass heißt in der Nullmenge unter dem Maß P liegt – auch nicht wichtig. Als institutionelle Absicherung für diese Entwicklung war mitentscheidend, dass Optionsgeschäfte erst ab dem Jahr 1973 nicht mehr als Glücksspiel gelten.

Das Black schon in den 1970er Jahren anerkannte, dass der Finanzmarkt nicht dem Modell, sondern eigenen Schwankungsgesetzen folgt, als er bei der Auswertung empirischer Daten philosophiert haben soll "Der Markt wusste etwas, das die Formel nicht wusste", wirft einen langen Schatten bis in die Gegenwart. Heute hängt wie ein Damoklesschwert über die Finanz-Community, dass in Fama-Welten die Resultate oft umso absurder erscheinen und umso arbiträrer im Ergebnis sind, je mehr das Universalmodell verfeinert wird. Ein Grund dafür ist, dass Präferenzen der Marktteilnehmer mit ihren Rückkoppelungen und sich verändernde organisatorische und gesetzgeberische Auflagen keine Rolle spielen. Neue Fragestelllungen erfordern Problemlösungen, die nicht schlank, elegant und performant sind. Wie lange ist noch vernachlässigbar, dass Finanzkrisen in den Tiefen nicht nachgebildet werden können, weil reine Zufallsspiele die Ergebnisse einstellen, Kurse, deren Zick-Zack-Muster die zufällige Gewinnentwicklung beim Roulette erzeugt und deren Verläufe die Optionsgriechen bestimmen, sich ohne Sprünge bewegen und das Finanzsystem, das Gleichgewichte sucht, eine Menge von Optimierungsmaschinen ist? Die Suche nach Antworten auf die Frage führen auf das Feld der Spieltheorie.

Annahmen gelten als widerlegt (Zwischenfazit)

Die Finanztheorie ist ein Teilgebiet der Stochastik; das Börsengeschehen ist eine Mathematik des Random Walk. Die Verortung in der bel étage der Mathematik sichert das "Fundamental Theorem of Asset Pricing". Es verbindet die Existenz und Eindeutigkeit von Martingalmaßen mit der Möglichkeit von Arbitrage, so dass Darstellungssätze für Prozesse als stochastische Integrale die Darstellbarkeit von Derivaten durch Handelsstrategien (Hedging) sichern. Dies ist der Kern, um den sich die Finanztheorie dreht. Das stochastische ist rechentechnisch bequem. Es agiert der repräsentative Marktteilnehmer (das statistische Mittel). So werden Unterschiede zwischen den Marktteilnehmern als zufällige Abweichungen vom Ideal vernachlässigbar und Funktionsweisen des Finanzsystems können ignoriert werden. Mit dem Wettbewerb ist das Elixier weg definiert; aus Kalkulationen wird das Unwahrscheinliche als das Unmögliche gestrichen. Es besteht die Aussicht jedes Risiko mathematisch eliminieren (hedgen) zu können; wirkliche Risiken gibt es (mathematisch!) nicht, da in Fama-Welten im Mittel weder gewonnen noch verloren wird. Auch wirkt ein "in der Masse gehen" wie eine Risikoversicherung, da nicht falsch sein kann, was alle tun. Die Aussicht das Risiko der Wertentwicklung eines Derivats mit passenden Preisen beherrschen zu können, kann aber trügerisch sein: Führte nicht der (Irr-)Glaube zur Subprime-Krise, dass aus faulen Krediten Derivate geschaffen werden konnten, die zu sicherem Geld werden, weil man sie mit wohlkalkulierten Optionsgeschäften hinreichend absichern könne?

Wie konnte sich im Herbst 2007 eine konstruktive Entwicklung in einen desaströsen Prozess verwandeln? Financial Engineers geht es wie Dart-Spielern, deren Trefferwahrscheinlichkeit umso mehr sinkt, je unsicherer sie auf den Füßen stehen. Das Gerüst der Quants schwankt umso mehr, je mehr sich die Schere zwischen Theorie und Praxis öffnet. Es wird nicht zusammenbrechen, geht aber an den wahren Problemen vorbei, solange die Beobachtung ignoriert – oder klein gerechnet – wird, dass dem Finanzsystem die Tendenz zur Rückkehr zum Gleichgewicht fehlt. Warum die Quasi-Axiomatisierung durch das dogmatische Festhalten an idealen Fama-Welten und nicht die Mathematisierung das Problem ist, wird nun skizziert.

Spieler mit Handicap

Seit Beginn der Mathematisierung der Finanzmärkte dominiert eine ordre naturel was ökonomische Zusammenhänge rigoros verkürzt. Durch die "Casino Game"-Metapher, die eine wohlgeordnete Newtonschen Welt nachbilden, sind Modelle naturwissenschaftlich gehärtet, am Finanzmarkt, der perfekt funktioniert, ist der einfältige Homo oeconomicus unterwegs, der stur vor sich hin optimiert, wenn er den Irrwegen von Teilchen in Flüssigkeiten folgt. Es passt nicht in das Bild statistischer Trendaussagen, dass die Empirie zeigt, dass am Finanzmarkt der Zusammenbruch historischer Abhängigkeiten beobachtet wird und dass Bücher mit provokanten Titeln wie "A Demon of Our Own Design" und "After the Music Stopped" gerade durch die Kritik reüssieren, dass Kurse ausschließlich durch Zufallsprozesse darstellbar sind, Martingale nur lineare Dynamiken bewältigen können und am Finanzmarkt nur faire Spiele gegen die überraschungsfreie Natur – dass heißt bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Umweltzustände – gespielt werden, deren Zufälligkeit (Risiko) sich durch stochastische Integrale (Optionspreise) mathematisch zügeln lässt.

Kontrollillusion, "déformation professionnelle" und die Gefahr, dass Financial Engineering zur Ingenieurskunst ohne ökonomische Urteilskraft wird, führt zur Gretchenfrage. Sie lautet: Wie werden Finanzmodelle weniger blind für Zustände, die aus Strukturen geschaffen werden, die sich anders als zuvor produzieren? In Fama-Welten stellt sich diese Frage nicht, da sich Bewertungsprobleme stets zu dem System fügen, das benötigt wird, um Kursprozesse durch stochastische Differenzialgleichungen zu beschreiben, deren Lösungen Martingale sind. Da sich die Umfelder am Finanzmarkt schnell wandeln, ist dies das Spielen von "Games of Brinkman-ship" (Spiele mit dem Feuer). Wann wird es zum Risiko, wenn den Modellkompass in eine falsche Richtung weist, da ökonomische Postulate zum Funktionieren des Marktes ebenso wenig erfüllt sind wie mathematische Annahmen zur Existenz stochastischer Integrale, die das Funktionieren der Modelle sichern? Wann wird es zum Risiko, dass das Risikomanagement durch den Zwang der Erfüllung regulatorischer Vorgaben auf Technik und Methoden reduziert?

Dass das Basel Regime selbst durch regulatorische, administrative Preisfestsetzungen nur be-grenzt ökonomische Anreize für ein nachhaltiges Risikomanagement setzt und darüber hinaus eine (zu!) ambitionierte Regulierung auch den Raum für destabilisierende Arbitragestrategien schaffen kann, wird hier nicht im Detail diskutiert. Fakt ist aber, dass nicht nur Black/Scholes-Modelle, die einen fairen, weil risikoneutralen, Finanzmarkt beschreiben, sondern auch das Basel Regime die Finance Community dazu zwingt, sich mit dem Finanzmarkt wie Physiker mit der Welt befassen. Dabei sind der Versicherungscharakter der Expertise in Stochastik und die Vielzahl der Rettungsfonds auch Anreize, riskante Spiele mit hohen Einsätzen zu spielen. Im Finanzsystem, wo jeder gegen jeden spielt, kommt durch die tragende Rolle der Investmentbanken, die mathematische Resultate oft sehr schnell in innovative Geschäftsmodelle transformierenden, erschwerend hinzu, dass Finanzmodelle auch noch Präzision suggerieren, wenn die notwendigen Voraussetzungen für ihre Gültigkeit weggefallen sind. Durch die zu beobachtende Überschätzung dessen, was mit Formeln noch darstellbar ist, sind Bacheliers Erben in Banken und Wissenschaft durch ein wenig ausdifferenziertes Universal(Spiel)Modell im Endlosspiel zur Veränderung der Spiele offensichtlich Spieler mit einem Handicap. Wie kann die Glücksspielmetapher verallgemeinert werden, damit auch Risiken zugelassen werden können, die der Eigendynamik des Marktes geschuldet sind?

(K)Ein Messproblem

Dass die Bewertungsprobleme, die der Finanzmarkt stellt, nicht mehr lehrbuchhaft zu lösen sind, verkürzt Fragen zum Reifegrad der Finanztheorie auf das Wesentliche. Es wird zu beachten sein, dass stochastische Prozesse den Finanzmarkt nur dann adäquat beschreiben, wenn sich Marktteilnehmer passiv wie Spieler beim Roulette verhalten und nicht aktiv gegen- oder miteinander gegen andere spielen. Haben Ereignisse zufällige Ursachen, ist die Stochastik zuverlässig. Jenseits der Casino Game Welten gibt es aber Muster, die subtil sind, da sie stochastisch nicht messbar sind. In Market Games ist die Zukunft nicht prä-deter-miniert. Strategien, die gestern funktioniert haben, können morgen nutzlos sein. Kann heute niemand wissen, ob morgen Roulette, Poker oder Mischformen von Glücks- und Gesellschaftsspielen gespielt werden, können Verteilungen nicht mehr postuliert werden. Das Echo kann also nicht mehr vor dem Ruf erschallen und Expertise in Stochastik ist zunächst einmal nachrangig. Dass die Finanzwelt nicht mehr voller kalkulierbarer, weil messbarer, Risiken besorgen Marktteilnehmer, die zwar nicht die mathematischen Gesetze der Martingale verändern, diese aber sehr wohl zu ihrem nicht in den Kursen eingepreisten Vorteil nutzen können. Wäre dies anders, gäbe es keine Termingeschäfte. Es ist wie bei Pferdewetten: Würden alle Spieler auf dasselbe Pferd wetten, gäbe es keine Wetten.

Die Störung (finanz)wissenschaftlicher Gewissheiten stört. Folgen wir noch kurz Rousseaus Postulat: "Lassen wir die Tatsachen beiseite, sie tragen zur Frage nichts bei". Bei aller Notwendigkeit zur Verkürzung der Realität durch Modelle, schein die Community nicht wirklich zu interessieren, dass aus Verfeinerungen der Standardmodelle nächste Fehler folgen müssen: Die Fachliteratur zeigt den Glauben, dass, je detaillierter und raffinierter Finanzmodelle messen, umso klarer und eindeutiger auch das Resultat ausfallen muss. Ein Beispiel sind die Lévy-Modelle. Gerade en vogue beschreiben sie Kursschwankungen nicht mehr als zahme Störungen wie Brownsche Bewegungen es tun. Dies ist ein Fortschritt. Einmal mehr dreht sich das Rad der Forschung schneller. Aber: Verallgemeinerungen der Normalverteilung verfeinern, ohne zu verändern. Alle von der Marktrealität zu stark losgelösten Formalisierungen geraten aus prinzipiellen Gründen ins Wanken, wenn Ereignisse eintreten, die in der Vergangenheit noch nicht vorgekommen und daher für die Zukunft auch nicht vorgesehen sind.

Dass Modelle, die Krisen offensichtlich mit verursachen, aus Krisen nicht herausführen können, stellt die Zeichen auf grundsätzliche Veränderungen. Zu hinterfragen ist die Praxis, durch das Nur-Berücksichtigen, was messbar ist, Faktizität mit Realität gleich zu setzen. Da nicht zu fordern ist, dass Marktteilnehmer ihr Verhalten ändern müssen, muss die Theorie ihre Defizite beim Verstehen der Ursachen der Marktdynamik überwinden. Hier nährt die Beobachtung, dass am Finanzmarkt nicht Spieler Erfolg haben, die richtig rechnen, sondern sich relativ zu den anderen richtig einschätzen, die Vermutung, dass die Zufallseigenschaft der Kurse nicht die Voraussetzung für, sondern das Ergebnis von Handlungen ist. Liegt der wahre Grund für Ungewissheit aber im Verhalten der Spieler, ist das im Spielerischen liegende Unwägbare keine Kuriosität der Märkte, sondern Bedingung ihres Funktionierens. Dass Verhaltensrisiken durch Verteilungen nicht abzubilden sind, heißt im Umkehrschluss, dass es zukünftig nicht mehr ausreichen wird, die Grenzen der Mathematisierung unter der Annahme nach vorn zu schieben, dass es der Normalzustand ist, das Spieler als Durchschnittsakteur auftreten, um sie berechenbar (messbar) zu machen. Hier erinnert der bekannt geringe Wirkungsgrad finanzmathematischer Abstraktionen an das Mann-Hammer-Problem: Ein Mann, der nur einen Hammer als Werkzeug hat, kann nur wenig Probleme lösen. Es zeigt der Test der Zeit durch ernüchternde empirische Befunde: Der Alleinvertretungsanspruch des "Hammer-Modells" von Black/Scholes ist passé, da am Finanzmarkt mehr Schrauben in Wände zu drehen als Nägel einzuschlagen sind. Ist die Glücksspielmetapher nur noch eine überflüssige Hypothese?

Antworten auf die Frage führen auf das Feld der Spieltheorie. Zum einen gibt es sehr konkrete Grenzen der Finanzmathematik: Es gibt nicht das Universalmodell (und kann es auch nicht geben), da der Zufall am Finanzmarkt nicht ausschließlich auftritt wie in Random Walks. Zum anderen ist es nicht das Problem, dass es Casino Games gibt, sondern nur, an sie zu glauben: Wer nur den "Black/Scholes-Hammer" hat, muss ein grundsätzlich falsches Spielverständnis haben. Damit ist klar: Das Erstarren in einem Darstellungsmodus, mit dem wenig anderes getan werden kann, als jede Form von Unsicherheit auf kalkulierbare Unsicherheit zu reduzieren und die Unmöglichkeit, sich aus eigener Kraft erneuern zu können, erfordern eine Mathematik, die methodisch-konzeptionell die Zusammenhänge nicht ausschließlich auf stochastische Wechselwirkungen verkürzen muss. Hier kommt die Spieltheorie ins Spiel. Sie ist eine Problemlösungsmethode mit Potenzial, weil Casino Games nur in dem Umfang überflüssig werden, wie in Market Games das Verhalten der Spieler zu quantifizieren ist.

Mehr als Finanzmechanik

Schon Vorsokratiker wie Heraklit verglichen die Ordnung des Universums mit dem Ergebnis eines Spiels der Götter. Nach moderner Lesart sind Spiele eine Metapher für offene Prozesse der Selbstorganisation. Suchen Spieler am (Finanz)Markt ihren Vorteil, werden strategische Spiele (Market Games) gespielt; hängen Spiele vom reinen Zufall ab, sind sie nicht-strategisch (Casino Games). Die Spieltheorie, deren definierendes Erkenntnisobjekt Spiele sind, ist eine mathematisch ausgereifte Theorie, die Spiele durch als wesentlich erachtete Struktur- und Verhaltensmerkmale abbildet und löst. Der empirische Ast überprüft Ergebnisse experimentell.

Warum ist die Spieltheorie die notwendige Ergänzung der Finanzmathematik? Da gegenwärtig unterstellt werden muss, dass die Vergangenheit ein gutes Modell für die Zukunft ist und Finanzmodelle nur dann halbwegs funktionieren, wenn eine gewisse Gleichförmigkeit (das heißt Stationarität) vorliegt, ist eine nicht triviale Antwort auf die Frage, dass im Bezugsrahmen der Spieltheorie (1) Finanzgeschäfte eine Menge von Regeln sind, die aus den regulatorischen Bedingungen und den Kosten-Nutzen-Kalkülen der Spieler folgen, (2) die Ungewissheit über Spielausgänge aus den Absichten der Spieler resultiert, für die Poker und nicht Roulette das Vorbild ist, wenn sie überlegen, welche Strategie in welcher Situation zu welchem Ergebnis führt und (3) das Nash Gleichgewicht nicht notwendigerweise eindeutige Spielausgänge als Lösungen klassifiziert, wo kein Spieler davon profitiert, wenn er allein von seiner Strategie abweicht. Da das Finanzsystem aus moderner, systemischer Sicht durch die Interaktion der Teile zu erklären ist, sind die Minimalbedingungen erfüllt, um Bewertungsprobleme, die der Finanzmarkt stellt, in guter Näherung zu lösen. Hier ist wesentlich, dass Finanz(Spiel)Modelle nur eine erste Annäherung sind, Lösungen nicht Brownschen Bewegungen folgen, Spieler nicht mechanisch funktionieren, die Finanzwelt nicht mehr nur aus kalkulierbaren, mathematisch abbildbaren Risiken besteht und Modelle nicht als absolut gültig gelten. Wenn Kenneth Arrow kritisiert, dass Modelle statt ökonomischer oft nur mathematische Thesen beweisen und für Ronald Coase die ökonomische Theorie ein theoretisches Spiel ist, das in der Luft schwebt, ist ein sehr konkreter Schritt zu mehr Realitätsnähe, dass Finanz(Spiel)Modelle nur Näherungen sind und so auch wahrgenommen werden.

Die Subprime-Krise hat in nur sehr dramatischer Form gezeigt, dass am Finanzmarkt Abhängigkeiten offensichtlich nicht bekannt sind. Da Rückkoppelungen die Möglichkeiten von stochastischer Differenzialgleichungen und anderer Methoden sprengen, zwingen Derivatekonstruktionen und Korrelationskonstrukte dazu, die Art der die Finanzbranche treibenden Mathematik zu beleuchten. Dass mit der Spieltheorie Gesetzmäßigkeiten, die in "Casino Games" axiomatische Gültigkeit haben, nicht Eins-zu-Eins auf "Market Games" übertragen werden müssen und Nash Gleichgewichte nicht in jeder Situation befriedigende Lösungen liefern, sind Stützen eines Bezugsrahmens, in dem Finance sich zumindest auch damit auseinsetzen kann, was passieren kann. Dessen Zweckmäßigkeit (und Notwendigkeit!) zeigt die Beobachtung, dass am Finanzmarkt eher Unsicherheit nach Knight als Risiko nach Bachelier die Zustände einstellt. Hier ist das Problem, dass Zustände fundamental unsicher sind und die Finanzbranche stark am Begriff des Risikos orientiert ist, wie man es im Casino kennt, wo die Wahrscheinlichkeiten für den Eintritt der möglichen Zustände bekannt sind. Dass Frank Knight schon in den 1920er Jahren die streng probabilistische Struktur zukünftiger Ereignisse bezweifelte – er trennte Risiko (Erwartungswerte existieren) von Unsicherheit (Erwartungswerte existieren nicht) und folgerte, dass die Welt unsicher (nicht berechenbar) und nicht riskant (berechenbar) ist – erklärt heute als Fundamentalunsicherheit, warum im Status quo die Mathematisierung der Finanzmärkte oft surreal sein muss, wenn die Messlatte für Erfolg die Praxistauglichkeit ist. Da Banker in der Subprime-Krise systematisch Risiko mit Unsicherheit verwechselten, ist "Knightian Uncertainty" ein starkes Indiz dafür, dass sich die Finanztheorie zeitnah auch darum kümmern können muss, wie der Finanzmarkt wirklich funktioniert.

Am Finanzmarkt sind spieltheoretische Aspekte allgegenwärtig. Dies erfordert nicht weniger, sondern mehr und vor allem komplexere Mathematik. Die Spieltheorie ist ein wichtiger Baustein im Programm der Quantifizierung der Finanzmärkte. Ein Grund dafür ist die Nicht-Beschränkung auf Erkenntnisgewinn durch reine mathematische Optimierung. Dabei erweitert das Abgreifen der objektiven Perspektive mathematischer Wahrscheinlichkeiten und der subjektiven Perspektive handlungsleitender Prinzipien Finance gerade um die Problemfelder, auf denen Modelle zukünftig ihre Geltung behaupten müssen. Für Financial Engineers mögen substanzielle Erkenntnisbeiträge zur Erklärung der Erfahrungswirklichkeit ungewohnt sein; im akademischen Wettbewerb mag es Empfindlichkeiten berühren. Dies löst Befremden aus und legt Distanz nahe. Dem Vorteil dem mathematischen Verständnis des wahren Geschehens am Finanzmarkt näher zu kommen, wird dann als Nachteil auch gegenüber gestellt, dass die Spieltheorie schwer handhabbar ist. In der Tat: Die geeignete Spielauswahl muss nicht immer gelingen. Wird nicht erkannt, ob Annahmen in der Realität noch zu treffen oder schon eine Gefahr für die Anwendung sind, wird mit der richtigen Strategie das falsche Spiel gespielt. Die Nebenbedingung beim Spielauswahlproblem lautet: "Es gibt mehr Ding‘ im Himmel und auf Erden, Horatio, als eure Schulweisheit sich träumt (Shakespear, Hamlet, 1. Aufzug, 5 Szene). Dazu steht das Beharrungsvermögen der Curricula in einem gewissen Widerspruch. Dies mag auch – verständlicherweise – mit dem Bewahren des im stochastischen Paradigma gebundenen Humankapitals zu begründen ist. An der Tatsache, dass am Finanzmarkt Spielregeln, Spieler und Spielfelder im Fluss sind und Modelle, die sich ähnlich verhalten wie das System, nicht die Kopie eines Originals aus der Physik sein können, ändert es aber nichts.

Es wird anspruchsvoller

Zukünftig wird für das Image einer Bank (und damit den Möglichkeiten Geld zu verdienen!) wichtig sein, auch mit dem umgehen zu können, was jenseits stochastischer Kennzahlenwelten passiert. Dazu ist am mephistophelischen Zug des Eingangs anzusetzen. Dies mag schwierig erscheinen; unmöglich ist es nicht.

Die schon bei Bachelier angelegte Grundüberlegung ist zu erweitern. Eine Theorie, die Anfälligkeit signalisiert, ist nach Karl Popper falsifiziert und wissenschaftstheoretisch problematisch. Dabei folgen Finanzmärkte nur bedingt den Metaphern einer physikalischen Kräftemechanik, da Rückkoppelungen dafür sorgen, dass das scheinbar Exakte der Modelle kaum noch die Schwächen der Annahmen verhüllt, die in die Berechnungen eingehen. Dass große Spiel, wo jeder gegen jeden spielt, erinnert an die Situation, in der Jean Baptist d' Alembert einem Zweifler an der Mathematik gesagt haben soll: "Allez en avant, la foi vous viendra". Nichtsdestotrotz: Niemand zweifelt wohl ernsthaft am Nutzen der Finanzmathematik.

Und dennoch: Die Empirie zeigt sehr konkret die Begrenztheit einer Methode, die im Kern der Versuch ist, künftige Risiken durch das Fortschreiben einer statistisch erfassten Vergangenheit identifizieren zu wollen. Brechen Kausalketten aber regelmäßig, bleibt ohne das Verstehen der Mikrowelt unklar, welches Risiko Banken beim Spielen um Marktrenditen wirklich nehmen. Wegen der Eigendynamik der Theoriebildung erscheint die These als nicht zu gewagt, dass die Spieltheorie wichtig für das Kommende sein wird. Dafür ist wesentlich, dass Finanz(Spiel-)Modelle die Realität weniger schlicht auf wirklich wichtige Einflussgrößen reduzieren.

Es gibt kein Rechnen ohne Risiko. Allen Bemühungen zum Trotz sind und bleiben Finanzmärkte unberechenbar. Deshalb ist auch für Finanz(Spiel-)Modelle der Lackmustest die praktische Anwendung. Hier ist die oft schwierige Handhabung der bekannteste mehr oder weniger schwer wiegende Kritikpunkt. Auch sind Minimalbedingungen keine Garantien. Und dennoch: Finance, das sich auch mit der wahren Struktur des Finanzmarktes befassen kann, ist robuster. Realistischere Modelle und Researcher, die wissen sollten, wie weit sie in die Zukunft blicken sollen, unterstützen das Ziel von Risikomanagement, die Breite möglicher Entwicklungen und deren Gefahren bestmöglich abzuschätzen. Dadurch ist die Spieltheorie "nur" notwendige Ergänzung; sie ist kein Ersatz. Cardano war Spieler und der wohl erste Stochastiker. Sein Rat, dass der größte Vorteil das Spiel liefert, das man nicht spielt, ist bei nicht gut verstandenen Zuständen das Credo der Spieltheorie. Es passt in die Zeit, da Standardmodelle sehr gut für die Zwecke funktionieren, für die sie in den 1970er Jahren geschaffen wurden.

Autor:

Dr. Volker Bieta, Unternehmensberater in Berlin und Lehrbeauftragter für Finanzmathematik und Spieltheorie an der Technischen Universität Dresden.

Dr. Volker Bieta, Unternehmensberater in Berlin und Lehrbeauftragter für Finanzmathematik und Spieltheorie an der Technischen Universität Dresden.

[ Bildquelle: © adimas - Fotolia.com ]


Kommentare zu diesem Beitrag

Keine Kommentare

Themenverwandte Artikel

Interview

Digitalisierung, Industrie 4.0 und Big Data

Industrie 4.0 versus Wissen 1.0

Redaktion RiskNET25.05.2016, 09:20

Industrie 4.0 ist in aller Munde. Land auf, Land ab, befeuern Wirtschaftsvertreter, Lobbygruppen und Politiker das Thema. Der Grundtenor: Wer nicht mitmacht bei der großen Digitalisierung hat...

Interview

Interview mit Prof. Dr. Michael Huth

Die Risikolandkarte der Logistikbranche

Redaktion RiskNET18.05.2016, 08:00

Der Logistikstandort Deutschland steht vor gewaltigen Herausforderungen. Die Branche plagen nicht nur fehlende Fahrer, sondern auch Konkurrenz- und Termindruck, geringere Margen und eine...

Kolumne

Der Blick in die Zukunft

Predictive Analytics

Frank Romeike | Andreas Eicher [Redaktion RiskNET]13.05.2016, 08:30

Das Orakel von Delphi, ein Kult-Ort voller Mythen, an dem sich das Dasein der Menschen mit der Welt der Götter verknüpfte, war der Mittelpunkt des antiken Griechenlands. Alles was zu jener Zeit Rang...

Kolumne

Chancen- und Risikoanalyse

TTIP, die Lesezimmer und die Veröffentlichungen

Andreas Eicher/Frank Romeike [Redaktion RiskNET]09.05.2016, 18:30

Wer erinnert sich nicht mit einem flauen Gefühl in der Magengegend an seine Schulzeit. Abi-Klausuren wurden meist in schmucklosen Turnhallen oder engen Klassenzimmern geschrieben. Jeder an einem...

Kolumne

Mitarbeiter als Garant zu Einhaltung gesetzlicher Vorgaben

Reduzierung von Compliance-Risiken

Christian Parsow / Christoph Schirrmann / Joachim Schwarz / Mirco Vedder02.05.2016, 13:40

Der Begriff "Compliance" ist in aller Munde – und das nicht erst seit den großen Korruptionsverfahren Mitte 2000 namhafter deutscher Unternehmen. Dass Gesetzesverstöße dabei zu einem...