Die Betrachtung der Entwicklung von Risikofaktoren wie Wechselkursen, Zinsen und Rohstoffpreisen lässt deutlich erkennen, dass die Märkte einer irregulären Bewegung folgen. In Abb. 1 wird die Entwicklung von vier ausgewählten Marktpreisen für den Zeitraum vom 28.11.1995 bis zum 28.11.2001 dargestellt. Während der Wechselkurs DEM/USD einem Trend zu folgen scheint, ist für die restlichen drei Marktpreise, abgesehen von einer Wellenbewegung, keine Figur erkennbar. Folglich könnte die Entwicklung von Marktpreisen als ein Zufallsprozess abgebildet werden. Dann würde die Änderung eines Marktpreises bezüglich der Richtung und Entfernung von dem ursprünglichen Punkt ein vom Zufall bestimmter Weg (engl. Random Walk) in. 

Abb. 1:  Historische Entwicklung ausgewählter Marktpreise

Zahlreiche finanzmathematische Bewertungs- und Risikomodelle bauen auf einem Random Walk auf. In Anlehnung an eine Parabel von MURRAY kann dieser zufällig gewählte Pfad wie der Weg eines „Betrunkenen“ betrachtet werden. Wenn der Betrunkene auf seinem Heimweg eine Teilstrecke zurückgelegt hat, ist es ungewiss, welche Richtung er als nächstes einschlagen wird und welche Entfernung er dann in dieser Richtung hinter sich lässt. Die insgesamt von dem „Betrunkenen“ zurückgelegte Wegstrecke setzt sich aus mehreren Teilschritten zusammen, die jeder für sich betrachtet bezüglich der Richtung und Länge ebenso zufällig und unabhängig vom vorherigen Schritt sind wie die daraus entstehende Gesamtentfernung vom Ursprungspunkt.

Abb. 2:  Beispiel für einen Random Walk

In Abb. 2 wird gezeigt, wie sich seine zurückgelegte Entfernung S von seinem ursprünglichen Standpunkt aus den einzelnen Schritten S1 bis S6 zusammensetzen könnte. Der Random Walk startet vom Ausgangspunkt A0 beginnend in eine zu-fällige Richtung und legt dabei eine Strecke S1 zufälliger Länge zurück. An dem nächsten Punkt A1 angekommen, wird wieder eine Strecke S2 zufälliger Länge in eine zufällige Richtung beschritten. Nach sechs Schritten wird der Punkt A6 erreicht. Die einzelnen Schritte Si eines Random Walk lassen sich mit Hilfe von Vektoren beschreiben. In Abb. 2 ist jeder Schritt ein zweidimensionaler Vektor. Der erste Schritt S1 wäre beispielsweise ein Vektor mit den Elementen x=2 und y=3. Werden vom Punkt A0 beginnend aus zwei Einheiten nach rechts und drei Einheiten nach oben zurückgelegt, wird der Punkt A1 erreicht. Bei einem negativen x und y würde die Bewegung genau in die entgegen gesetzte Richtung führen. Entsprechend lassen sich die restlichen Schritte S2 bis S6 als Vektoren ausdrücken. Die Summe der sechs Schritt-Vektoren Si ergibt den Random Walk, welcher selbst einen Vektor S darstellt und die Bewegung von A0 nach A6 beschreibt. Jeder Vektor S kann deshalb als eine Summe von n einzelnen Schritt-Vektoren Si aufgefasst werden oder selbst ein Schritt-Vektor eines übergeordneten Random Walks sein. Diese Eigenschaft wird als Selbstähnlichkeit bezeichnet. Weil die Länge und Richtung der einzelnen Vektoren vom Zufall abhängig ist, ist auch der daraus entstehende Random Walk vom Zufall geprägt.

Ein simulierter Random Walk bildet daher einen zufallsabhängigen Prozess mit der Eigenschaft, dass jeder Schritt-Vektor in seiner Richtung unabhängig ist von den vorherigen Schritt-Vektoren. Zwischen den einzelnen logarithmierten Veränderungen der Schritte Si innerhalb des Random Walks ist kein Zusammenhang erkennbar. Stochastische Prozesse mit dieser Eigenschaft heißen Markov-Prozesse, da einzig der aktuelle Wert Einfluss auf den ihm folgenden Wert hat. Der Weg, den die betrachtete Zufallsvariable in der Vergangenheit zurückgelegt hat, um den aktuellen Wert zu erreichen, ist ohne Bedeutung, denn der aktuelle Wert enthält bereits alle Informationen der Vergangenheit. So wird z.B. bei schwacher Markteffizienz angenommen, dass der nächste Kurs einer Aktie nur vom jetzigen Kurs und neuen Informationen abhängt, nicht aber von der historischen Kursentwicklung. Denn alle aus der historischen Kursentwicklung ableitbaren Informationen sollen in dem aktuellen Kurs bereits enthalten sein. Neue Informationen sind aber unsicher.

In statistischen Modellen für die Prognose von Risikoparametern werden häufig zwei Komponenten berücksichtigt. Eine Komponente davon ist vom Zufall abhängig und setzt sich aus den einzelnen Schritten des Random Walks zusammen. Diese Komponente wird durch den Wiener-Prozess beschrieben. Die andere Komponente ist deterministisch und wird als Drift oder Trend bezeichnet. In Fortführung des Beispiels von MURRAY mit dem Betrunkenen, lässt sich die Trendkomponente (Drift) so erklären, dass der Betrunkene zwar einen absolut zufälligen Weg wählt und auch den einen oder anderen Umweg geht, jedoch dabei grob in die Richtung seiner Wohnung marschiert.

Abb. 3:  Risikoanalyse für den Wechselkurs EUR/USD

Die Abb. 3 zeigt eine beispielhafte Anwendung von Random Walks in der Messung von Wechselkursrisiken. Auf Basis der historischen (logarithmierten) Wechselkursänderungen werden ausgehend vom 01.01.2003 viele alternative Pfade für die zukünftige Entwicklung des Wechselkurses EUR/USD simuliert. In Abb. 3 wird exemplarisch ein Random Walk für den Wechselkurs EUR/USD dargestellt. Um die simulierten Wechselkurspfade kann ein zweiseitiges Vertrauensintervall gespannt werden, durch das je nach Parametrisierung des Zufallsprozesses z.B. 90 % oder mehr der simulierten Pfade verlaufen. Die Verwendung von Random Walks ermöglicht es, alle denkbaren zukünftigen Entwicklungen von Risikoparametern zu simulieren. Aus einer Vielzahl von simulierten zeitlichen Entwicklungen der relevanten Risikoparameter später Verteilungen und Wahrscheinlichkeitsaussagen abgeleitet werden (vgl. Beitrag zu Cash Flow at Risk).

(Autor: Dr. Peter Hager)

Internetressourcen:

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